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Tutorial: Mínimo común múltiplo y máximo común divisor con calculadora

11-X-2016

Has­ta aho­ra siem­pre había uti­liza­do una cal­cu­lado­ra… vet­er­ana, por decir­lo de algu­na man­era. Ha toca­do ren­o­varse y pon­erme a exper­i­men­tar con ella. Algo que siem­pre odié de las matemáti­cas fue sacar el mín­i­mo común múlti­p­lo (m.c.m) y el máx­i­mo común divi­sor (m.c.d) medi­ante la descom­posi­ción de un número en fac­tores pri­mos. Es tedioso y lle­va tiem­po, aunque conoz­cas las reglas de divis­i­bil­i­dad y util­ices la cal­cu­lado­ra.

Afor­tu­nada­mente las cal­cu­lado­ras más recientes nos facil­i­tan mucho la vida en este sen­ti­do.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de dos números

Pong­amos, por ejem­p­lo, que quer­e­mos sacar el m.c.m y el m.c.d de los números 180 y 252.

Medi­ante la tecla a b/c en algu­nas Casio, o la que sir­va en vue­stro caso para intro­ducir una frac­ción, intro­duci­mos esos dos números como numer­ador y denom­i­nador respec­ti­va­mente: \frac { 180 }{ 252 }.

Al dar­le a la tecla de = la cal­cu­lado­ra nos mues­tra la frac­ción irre­ducible de esa frac­ción, que en este caso es: \frac { 5 }{ 7 }.

¿Qué es lo que ha hecho la cal­cu­lado­ra para mostrar la frac­ción irre­ducible? Sen­cil­la­mente: sacar automáti­ca­mente el máx­i­mo común divi­sor, así que sabi­en­do qué número ha uti­liza­do para lle­gar has­ta ahí sabre­mos cuál es el m.c.d de esos dos números. ¿Y qué hace­mos para saber­lo? Dividir el numer­ador entre el numer­ador o el denom­i­nador entre el denom­i­nador de cada una de esas dos frac­ciones; yo voy a hac­er­lo todo el rato con los numer­adores porque creo que es más visu­al, pero cada uno como pre­fiera: \frac { 180 }{ 5 } =36.

mcd(180,252) = 36.

Aho­ra vamos con el mín­i­mo común múlti­p­lo. La for­ma de lle­gar has­ta aquí es sabi­en­do que la mul­ti­pli­cación de los números (180 y 252) da como resul­ta­do lo mis­mo que si mul­ti­pli­camos su m.c.d por su m.c.m. Ya sabi­en­do ya que el m.c.d es 36, sólo ten­emos que mul­ti­plicar ambos números y dividir­los entre 36: \frac { 180.252 }{ 36 } =1260.

mcm(180,252) = 1260.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de tres números

Aho­ra que ya sabe­mos cuál es la for­ma de desar­rol­lo, vamos a ir un poco más rápi­do. Tam­bién se puede sacar el m.c.d de tres o más números, pero es un pelín más entretenido. Vamos allá con los números: 180, 252 y 594, por aprovechar un poco de lo ya hecho para los ejem­p­los. Los primeros pasos son idén­ti­cos:

\frac { 180 }{ 252 } =\frac { 5 }{ 7 } \\ \\ \frac { 180 }{ 5 } =36

Y aquí es cuan­do varía, porque siem­pre hay que hac­er las divi­siones por pare­jas; el numer­ador de la próx­i­ma frac­ción será el sigu­iente número al que le que­da por sacar el m.c.d (594) y el denom­i­nador será el m.c.d que ya hemos obtenido de los dos primeros números (36).

\frac { 594 }{ 36 } =\frac { 33 }{ 2 } \\ \\ \frac { 594 }{ 33 } =18

mcd(180,252,594) = 18.

Como son los mis­mos números, el ini­cio para sacar el m.c.m es idén­ti­co: \frac { 180.252 }{ 36 } =1260.

Aho­ra hay que sacar el m.c.m de 594 y 1260, que es el m.c.m de los dos primeros números; de la mis­ma for­ma que hemos vis­to antes, pero hay que pon­er en este caso como denom­i­nador el m.c.d de la segun­da pare­ja de números (18): \frac { 594.1260 }{ 18 } =41580.

mcm(180,252,594) = 41580.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de cuatro números

Vamos a liar­lo un poco más, con cua­tro números: 180, 252, 594 y 927. Primero el m.c.d de los dos primeros números, de la mis­ma for­ma:

\frac { 180 }{ 252 } =\frac { 5 }{ 7 } \\ \\ \frac { 180 }{ 5 } =36

Aho­ra el m.c.d del sigu­iente número (594) como numer­ador y el m.c.d de los dos ante­ri­ores (36) como denom­i­nador:

\frac { 594 }{ 36 } =\frac { 33 }{ 2 } \\ \\ \frac { 594 }{ 33 } =18

Aho­ra, de nue­vo, el sigu­iente número (927) como numer­ador y el m.c.d de los dos ante­ri­ores (18) como denom­i­nador:

\frac { 927 }{ 18 } =\frac { 103 }{ 2 } \\ \\ \frac { 927 }{ 103 } =9

mcd(180,252,594,927) = 9.

Turno entonces del mc.m. Empezamos, como siem­pre, por el m.c.m de los dos primeros números: \frac { 180.252 }{ 36 } =1260.

Aho­ra la mul­ti­pli­cación del sigu­iente número (594) por el m.c.m de los dos números ante­ri­ores (1260) como numer­adores y el m.c.d de la segun­da pare­ja de números (18) como denom­i­nador: \frac { 594.1260 }{ 18 } =41580.

Y, por últi­mo, la mul­ti­pli­cación del número que que­da (927) por el m.c.m de los dos ante­ri­ores (41580) como numer­adores y el m.c.d de la ter­cera pare­ja de números (9) como denom­i­nador: \frac { 927.41580 }{ 9 } =4282740.

mcm(180,252,594,927) = 4282740.

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