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Tutorial: Mínimo común múltiplo y máximo común divisor con calculadora

11-X-2016

Has­ta aho­ra siem­pre había uti­li­za­do una cal­cu­la­do­ra… vete­ra­na, por decir­lo de algu­na mane­ra. Ha toca­do reno­var­se y poner­me a expe­ri­men­tar con ella. Algo que siem­pre odié de las mate­má­ti­cas fue sacar el míni­mo común múl­ti­plo (m.c.m) y el máxi­mo común divi­sor (m.c.d) median­te la des­com­po­si­ción de un núme­ro en fac­to­res pri­mos. Es tedio­so y lle­va tiem­po, aun­que conoz­cas las reglas de divi­si­bi­li­dad y uti­li­ces la cal­cu­la­do­ra.

Afor­tu­na­da­men­te las cal­cu­la­do­ras más recien­tes nos faci­li­tan mucho la vida en este sen­ti­do.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de dos números

Pon­ga­mos, por ejem­plo, que que­re­mos sacar el m.c.m y el m.c.d de los núme­ros 180 y 252.

Median­te la tecla a b/​c en algu­nas Casio, o la que sir­va en vues­tro caso para intro­du­cir una frac­ción, intro­du­ci­mos esos dos núme­ros como nume­ra­dor y deno­mi­na­dor res­pec­ti­va­men­te: \frac { 180 }{ 252 }.

Al dar­le a la tecla de = la cal­cu­la­do­ra nos mues­tra la frac­ción irre­du­ci­ble de esa frac­ción, que en este caso es: \frac { 5 }{ 7 }.

¿Qué es lo que ha hecho la cal­cu­la­do­ra para mos­trar la frac­ción irre­du­ci­ble? Sen­ci­lla­men­te: sacar auto­má­ti­ca­men­te el máxi­mo común divi­sor, así que sabiendo qué núme­ro ha uti­li­za­do para lle­gar has­ta ahí sabre­mos cuál es el m.c.d de esos dos núme­ros. ¿Y qué hace­mos para saber­lo? Divi­dir el nume­ra­dor entre el nume­ra­dor o el deno­mi­na­dor entre el deno­mi­na­dor de cada una de esas dos frac­cio­nes; yo voy a hacer­lo todo el rato con los nume­ra­do­res por­que creo que es más visual, pero cada uno como pre­fie­ra: \frac { 180 }{ 5 } =36.

mcd(180,252) = 36.

Aho­ra vamos con el míni­mo común múl­ti­plo. La for­ma de lle­gar has­ta aquí es sabiendo que la mul­ti­pli­ca­ción de los núme­ros (180 y 252) da como resul­ta­do lo mis­mo que si mul­ti­pli­ca­mos su m.c.d por su m.c.m. Ya sabiendo ya que el m.c.d es 36, sólo tene­mos que mul­ti­pli­car ambos núme­ros y divi­dir­los entre 36: \frac { 180.252 }{ 36 } =1260.

mcm(180,252) = 1260.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de tres números

Aho­ra que ya sabe­mos cuál es la for­ma de desa­rro­llo, vamos a ir un poco más rápi­do. Tam­bién se pue­de sacar el m.c.d de tres o más núme­ros, pero es un pelín más entre­te­ni­do. Vamos allá con los núme­ros: 180, 252 y 594, por apro­ve­char un poco de lo ya hecho para los ejem­plos. Los pri­me­ros pasos son idén­ti­cos:

\frac { 180 }{ 252 } =\frac { 5 }{ 7 } \\ \\ \frac { 180 }{ 5 } =36

Y aquí es cuan­do varía, por­que siem­pre hay que hacer las divi­sio­nes por pare­jas; el nume­ra­dor de la pró­xi­ma frac­ción será el siguien­te núme­ro al que le que­da por sacar el m.c.d (594) y el deno­mi­na­dor será el m.c.d que ya hemos obte­ni­do de los dos pri­me­ros núme­ros (36).

\frac { 594 }{ 36 } =\frac { 33 }{ 2 } \\ \\ \frac { 594 }{ 33 } =18

mcd(180,252,594) = 18.

Como son los mis­mos núme­ros, el ini­cio para sacar el m.c.m es idén­ti­co: \frac { 180.252 }{ 36 } =1260.

Aho­ra hay que sacar el m.c.m de 594 y 1260, que es el m.c.m de los dos pri­me­ros núme­ros; de la mis­ma for­ma que hemos vis­to antes, pero hay que poner en este caso como deno­mi­na­dor el m.c.d de la segun­da pare­ja de núme­ros (18): \frac { 594.1260 }{ 18 } =41580.

mcm(180,252,594) = 41580.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de cuatro números

Vamos a liar­lo un poco más, con cua­tro núme­ros: 180, 252, 594 y 927. Pri­me­ro el m.c.d de los dos pri­me­ros núme­ros, de la mis­ma for­ma:

\frac { 180 }{ 252 } =\frac { 5 }{ 7 } \\ \\ \frac { 180 }{ 5 } =36

Aho­ra el m.c.d del siguien­te núme­ro (594) como nume­ra­dor y el m.c.d de los dos ante­rio­res (36) como deno­mi­na­dor:

\frac { 594 }{ 36 } =\frac { 33 }{ 2 } \\ \\ \frac { 594 }{ 33 } =18

Aho­ra, de nue­vo, el siguien­te núme­ro (927) como nume­ra­dor y el m.c.d de los dos ante­rio­res (18) como deno­mi­na­dor:

\frac { 927 }{ 18 } =\frac { 103 }{ 2 } \\ \\ \frac { 927 }{ 103 } =9

mcd(180,252,594,927) = 9.

Tur­no enton­ces del mc.m. Empe­za­mos, como siem­pre, por el m.c.m de los dos pri­me­ros núme­ros: \frac { 180.252 }{ 36 } =1260.

Aho­ra la mul­ti­pli­ca­ción del siguien­te núme­ro (594) por el m.c.m de los dos núme­ros ante­rio­res (1260) como nume­ra­do­res y el m.c.d de la segun­da pare­ja de núme­ros (18) como deno­mi­na­dor: \frac { 594.1260 }{ 18 } =41580.

Y, por últi­mo, la mul­ti­pli­ca­ción del núme­ro que que­da (927) por el m.c.m de los dos ante­rio­res (41580) como nume­ra­do­res y el m.c.d de la ter­ce­ra pare­ja de núme­ros (9) como deno­mi­na­dor: \frac { 927.41580 }{ 9 } =4282740.

mcm(180,252,594,927) = 4282740.

¿Una ayudita?

Todo esto que ves es total­men­te gra­tis para ti; dedi­co bue­na par­te de mi tiem­po por el sim­ple pla­cer de ayu­dar a gen­te como tú, para hacer las cosas más fáci­les a los demás. No obs­tan­te, de vez en cuan­do, vie­ne muy bien una mues­tra de apo­yo que me ani­me a seguir crean­do todo este tipo de con­te­ni­do. Si te ha gus­ta­do esto, si te ha ser­vi­do de ayu­da, si quie­res cola­bo­rar: pue­des donar algo. Por peque­ña can­ti­dad que sea lo agra­de­ce­ré enor­me­men­te.

Tam­bién, si lo pre­fie­res, pue­des entrar en mi lis­ta de deseos lite­ra­ria en Ama­zon don­de podrás enviar­me algu­no de los libros lis­ta­dos. Esta­ría encan­ta­do de hacer­le un hue­co en mi casa a cual­quie­ra de todos ellos.

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